Jak se integruje

Základy integrálů

Integrace je v podstatě obráceným postupem k derivaci. Jestliže máme např. funkci f = x2 , pak derivací získáme funkci 2x (x2 → 2x). Opačným postupem je integrování. Máme funkci F = 2x a ptáme se z jaké funkce jsme ji získali derivováním. Odpověď je: přece z funkce x2 ! Funkci f = x2 se říká primitivní funkce k F= 2x.

Odpověď ale není úplně přesná – derivací funkce f = x2 +k (k je konstanta) totiž získáme také funkci 2x, neboť derivace konstanty je nula. Při integraci funkce F = 2x tedy nevíme, zda primitivní funkce neobsahovala nenulovou konstantu k.

Integrály jsou neurčité (neomezený interval) a určité (integrace v určitém intevalu, např. a – b, viz obrázek). Vidíme, že v tomto případě je integrál vlastně plocha pod křivkou.

Jak se integruje v praxi

V praxi se nejčastěji používá numerická integrace jednorozměrných integrálů pro výpočet plochy pod křivkou (kvadratura), případně dvojrozměrných integrálů pro výpočet objemu těles (kubatura).
Integrál funkce

f(x)dx ( dx je zde tzv. diferenciál x, který říká, že integračním intervalem je osa x)

v rozsahu a až b pak můžeme spočítat tak, že si interval a – b rozdělíme na několik “dílků” a v nich funkci f(x) přibližně nahradíme obdélníkem, lichoběžníkem, nebo polynomem druhého stupně. Použijeme tedy obdélníkovou, lichoběžníkovou, popř. Simpsonovu metoda numerické integrace. Plochu těchto geometrických útvarů umíme snadno spočítat.

Chyba takové integrace se pak liší podle použitého polynomu a podle počtu intervalů, na které si úsek a – b rozdělíme. Vyšší stupeň polynomu a větší počet intervalů znamenají větší přesnost.

Jak integrovat v Excelu

Integraci obdélníkovou metodou můžeme snadno provést pomocí aplikace MS Excel. Ukažme si to na příkladu integrace funkce f(x)dx pro funkci f(x) = 1/x v intervalu a=1 a b=7.

Do sloupce A v tabulce zadáme intervaly integrace, tj. například 1,2,…7. Do prvního řádku sloupce B pak vložíme funkci 1/x (zápis v Excelu je =SOUČIN(1/RC[-1])) a vyplníme ji i do dalších řádků sloupce B odpovídajících intervalům ve sloupci A.

Potom do prvního řádku sloupce C zapíšeme funkci =(B1+B2)/2*(A2-A1) (zápis v Excelu vypadá takto: =(RC[-1]+R[1]C[-1])/2*(R[1]C[-2]-RC[-2])). Tuto funkci opět vyplníme i do dalších řádků sloupce C odpovídajících intervalům ve sloupci A kromě posledního řádku (tj. řádků 1 – 6).

Posledním krokem je udělat součet hodnot všech řádků ve sloupci C. Klepneme na řádek pod posledním vyplněným ve sloupci C (řádek 7) a v liště nástrojů klepneme na funkci Automatické shrnutí.

Tento postup je možné použít i pro větší počet intervalů integrace pro vyšší přesnost.

Projděte si i další Skrblíkovy užitečné návody:Jak se počítají procenta nebo Jak vytvořit graf v Excelu